Matematica: i prodotti notevoli con esercizi svolti
Nel calcolo polinomiale il prodotto o l’elevamento a potenza di un polinomio può diventare una operazione lunga e complicata se non si utilizzano i cosiddetti prodotti notevoli.
I prodotti notevoli consentono di sviluppare in maniera più rapida i calcoli rispetto all’utilizzo delle regole del calcolo letterale, anche nel caso di scomposizione in fattori.
Quadrato di un binomio\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)Quadrato di un trinomio\((a+b+ c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\((a-b+ c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\)
\((a+b- c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\)
\((a-b- c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\)Differenza di due quadrati\((a+b)\cdot(a-b) = a^2-b^2\)Cubo di un binomio\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\)Somma e differenza di due cubi\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Esercizi
\((3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\)
\((x+4)\cdot(x-4)-(x+4)^2\)
\((x^2-x-1)^2+(x-1)^3-x^3\cdot(x-1)\)
\((2x^2+3)^2-(2x^2+3)\cdot(2x^2-3)-12x^2\)
\((3x+1)^2-(3x-1)^2=\)
\(=(9x^2+6x+1)-(9x^2-6x+1)=\)
\(=\cancel{9x^2}+6x+\cancel{1}\cancel{-9x^2}+6x\cancel{-1}=\)
\(=12x\)
\((x+4)\cdot(x-4)-(x+4)^2=\)
\(=x^2-16-(x^2+8x+16)=\)
\(=\cancel{x^2}-16\cancel{-x^2}-8x-16=\)
\(=-8x -32\)
\((x^2-x-1)^2+(x-1)^3-x^3\cdot(x-1)=\)
\(=(x^4+x^2+1-2x^3-2x^2+2x)+(x^3-3x^2+3x-1)-(x^4-x^3)=\)
\(=\cancel{x^4}+x^2+\cancel{1} \underline{-2x^3}-2x^2+2x+\underline{x^3}-3x^2+3x \cancel{-1} \cancel{-x^4}+\underline{x^3}=\)
\(=-4x^2+5x\)
\((2x^2+3)^2-(2x^2+3)\cdot(2x^2-3)-12x^2=\)
\(=(4x^4+12x^2+9)-(4x^4-9)-12x^2=\)
\(=\cancel{4x^4}+\cancel{12x^2}+9 \cancel{-4x^4}+9 \cancel{-12x^2}=\)
\(=18\)
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