Fisica – I moti nel piano: il moto armonico semplice con esercizi
Esercizio Svolto 2
Un moto armonico con periodo \(T=16s\) è caratterizzato dalle seguenti condizioni: quando \(t_1=2.0a\) si ha \(x(t_1)=0m\) e quando \(t_2=4.0s\) la velocità è \(v(t_2)=4,0m/s\).
Determinare l’equazione del moto.
L’equazione del moto armonico semplice è: $$x(t)=Asen(\omega t+\varphi)$$ Per determinare l’equazione del moto occorre ricavare i valori dell’ampiezza \(A\), della pulsazione \(\omega\) e della fase \(\varphi\).
A partire dal periodo \(T\) si ricava la pulsazione \(\omega\):
\(\omega= \displaystyle\frac{2\pi}{T}= \displaystyle\frac{\pi}{8} s^{-1} \)
Per l’ampiezza \(A\) e la fase \(\varphi\) occorre risolvere il seguente sistema:
\( ^{(1)} \quad x(t_1)=Asen(\pi/8 \cdot 2.0 +\varphi)=0\)
\( ^{(2)} \quad v(t_2)=\pi/8 Acos(\pi/8 \cdot 4.0 +\varphi)=4.0\)
Relativamente alla \( ^{(1)}\) si ha:
\(sen(\pi/4+\varphi)=0 \Rightarrow \) \( \pi/4+\varphi=k\pi \quad\) con \(k=0,\pm1,\pm2,…\)
Per \(k=0\) si ha: \(\varphi=- \displaystyle\frac{\pi}{4}rad\)
Sostituendo il valore di \(\varphi\) nella \( ^{(2)}\) si ha:
\(\displaystyle\frac{\pi}{8}Acos( \displaystyle\frac{\pi}{2}- \displaystyle\frac{\pi}{4})=4.0 \Rightarrow \) \(\displaystyle\frac{\pi}{8}A \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=4.0 \Rightarrow\) \(A=14.4m \)
L’equazione del moto armonico semplice è allora: $$x(t)=14.4sen( \displaystyle\frac{\pi}{8} t- \displaystyle\frac{\pi}{4} )$$
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