Matematica: le disequazioni di secondo grado con esempi e risoluzione inversa
Il valore del discriminante
Il segno del trinomio \(ax^2 + bx + c\) con Δ > 0 \((a>0)\)
In tal caso si hanno due soluzioni reali distinte \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
La disequazione \(ax^2 + bx + c > 0\) è verificata per valori esterni all’intervallo di estremi \(x_1, x_2\), cioè:
$$
]- ∞;x_1[\lor]x_2;+ ∞[\;\;\;\;\; x < x_1 \lor x > x_2
$$
Se la a disequazione è \(ax^2 + bx + c \ge 0\) allora:
$$ ]- ∞;x_1]\lor[x_2;+ ∞[\;\;\;\;\; x \le x_1 \lor x \ge x_2$$
La disequazione \(ax^2 + bx + c < 0\) è verificata per valori interni all'intervallo di estremi \(x_1, x_2\), cioè:
$$ ]x_1;x_2[\;\;\;\;\; x_1 < x < x_2$$
Se la a disequazione è \(ax^2 + bx + c \le 0\) (con \(a>0\)) allora:
$$ [x_1;x_2]\;\;\;\;\; x_1 \le x \le x_2$$
Il segno del trinomio \(ax^2 + bx + c\) con Δ = 0 \((a>0)\)
In tal caso si hanno due soluzioni reali coincidenti \(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\).
La disequazione \(ax^2 + bx + c > 0\) è verificata per qualunque valore di \(x\) diverso da \(x_1\), cioè: $$ \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{x_1\}$$La disequazione \(ax^2 + bx + c \ge 0\) è verificata per qualunque valore di \(x\), cioè: $$ \forall x \in \mathbb{R} $$La disequazione \(ax^2 + bx + c < 0\) non è mai verificata, cioè: $$ ∄ x \in \mathbb{R} $$La disequazione \(ax^2 + bx + c \le 0\) è verificata solo per le due radici coincidenti, cioè: $$ x=x_1=x_2 $$
Il segno del trinomio \(ax^2 + bx + c\) con Δ < 0 \((a>0)\)
In tal caso non si hanno soluzioni reali.
La disequazione \(ax^2 + bx + c > 0\) (vale anche se il segno è \(\ge\)) è verificata per qualunque valore di \(x\), cioè: $$ \forall x \in \mathbb{R}$$ La disequazione \(ax^2 + bx + c < 0\) (vale anche se il segno è \(\le\)) non è mai verificata, cioè: $$ ∄ x \in \mathbb{R} $$
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