• Autore: Antonio Guadagno
• Fonte: Seneta.it

$$y(x)={(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x$$
La funzione si presenta nella forma:
$$y(x)=[f(x){]}^{g(x)}$$
con $f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ e $g(x)=x$
Si tratta quindi di una funzione composta esponenziale la cui derivata generale è:
$${([f(x){]}^{g(x)})}^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot ln(f(x))+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)}{f(x)}}$$
e poiché $g^{\prime }(x)=1$ e $f^{\prime }(x)=–{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ si ha:

$${\left[{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x\right]}^{\prime }=ln(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})+{\displaystyle \frac{x\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=}$$$$=ln(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})–{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}$$

$${\left[{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x\right]}^{\prime }=ln(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})–{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$

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Dispense Scolastiche, Dispense Scolastiche: Matematica, Scuola

Matematica, Scuole Secondarie di II grado, Università