Logica delle proposizioni
Espressioni logiche
Una espressione logica è costituita da più proposizioni semplici correlate da connettivi logici.
Per risolvere un’espressione logica occorre costruire una tavola di verità, costituita innanzitutto da tutti i possibili valori di verità delle proposizioni semplici e dalle tavole di verità delle operazioni logiche indicate dai connettivi.
Per quanto riguarda le priorità tra gli operatori, la negazione è applicata prima degli altri operatori, poi la congiunzione e la disgiunzione; l’implicazione e la doppia implicazione hanno la precedenza più bassa.
Naturalmente, l’espressione logica segue le stesse regole delle espressioni algebriche relativamente all’uso delle parentesi: si svolgono prima i connettivi interni alle parentesi tonde, poi a quelle quadre e infine a quelle graffe.
Esempio.Costruire la tavola di verità della seguente espressione logica: \(\overline{\hbox{(p ∧ q)}} ∨ \overline{\hbox{q}}\).
La proposizione è divisa in due blocchi, separati dall’operatore di disgiunzione; ciò significa che la proposizione composta sia vera è sufficiente che \(\overline{\hbox{(p ∧ q)}}\) oppure \(\overline{\hbox{q}}\) siano veri.
| \(p\) | \(q\) | \(\overline{\hbox{q}}\) | \(p \land q\) | \(\overline{\hbox{(p ∧ q)}}\) | \(\overline{\hbox{(p ∧ q)}} ∨ \overline{\hbox{q}}\) |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | F | T | T |
| F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | F | T | T |
Due espressioni logiche si dicono equivalenti se hanno la stessa tavola di verità; si usa per indicare l’equivalenza il simbolo = .
Esempio classico: \(a = (a ∧ b) ∨ a\).
Una proposizione composta è definita
tautologia se è sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle relative proposizioni componenti.Esempio classico: \(a ∨ \overline{\hbox{a}}\).
Una proposizione composta è definita
contraddizione se è sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità delle relative proposizioni componenti.Esempio classico: \(a \land \overline{\hbox{a}}\).
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