Algebra lineare: Le matrici
Inversa di una matrice
Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata \(A\) di ordine \(n\) la matrice quadrata \(A^{-1}\) tale che risulti: $$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n $$
Non tutte le matrici quadrate ammettono la matrice inversa. Se una matrice ha la matrice inversa, si dice invertibile. Si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia invertibile è che il suo determinante sia diverso da 0.
Per calcolare l’inversa di una matrice \(A_{n×n}\) invertibile e con determinante \(D \ne 0\), si utilizza il seguente procedimento:
- scrivere la matrice dei complementi algebrici \(A{ij}\) degli elementi di \(A\);
- dividere ogni elemento di tale matrice per il determinante \(D\);
- scrivere la trasposta della matrice ottenuta.
Di conseguenza: $$ \begin{bmatrix} \frac{A_{11}}{D} & \frac{A_{21}}{D} & \cdots & \frac{A_{n1}}{D} \\ \frac{A_{12}}{D} & \frac{A_{22}}{D} & \cdots & \frac{A_{n2}}{D} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ \frac{A_{12}}{D} & \frac{A_{22}}{D} & \cdots & \frac{A_{n2}}{D} \\ \end{bmatrix} $$
Esempio
$$
A =
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
3 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}
\Longrightarrow |A| = -7
$$
I complementi algebrici di A sono:
$$
\begin{matrix}
A_{11}=-3 & A_{12}=-5 & A_{13}=-1 \\
A_{21}=-4 & A_{22}=-2 & A_{23}=1 \\
A_{31}=2 & A_{32}=1 & A_{33}=-4
\end{matrix}
$$
Ciascun complemento algebrico viene diviso per il determinante della matrice \(A\).
I numeri così ottenuti sono detti reciproci degli elementi di A.
$$
\begin{bmatrix}
\frac{-3}{7} & \frac{-5}{7} & \frac{-1}{7} \\
\frac{-4}{7} & \frac{-2}{7} & \frac{1}{7} \\
\frac{2}{7} & \frac{1}{7} & \frac{-4}{7}
\end{bmatrix}
$$
Si consideri poi la matrice quadrata del terzo ordine, ottenuta considerando la trasposta della matrice formata dai reciproci di tutti gli elementi di A:
$$
A’=
\begin{bmatrix}
\frac{3}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\
\frac{5}{7} & \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} \\
\frac{1}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}
$$
la matrice ottenuta risolve il problema iniziale, ossia che i prodotti \(A \cdot A’\) e \(A’ \cdot A\) sono uguali alla matrice identica di ordine 3:
$$
A \cdot A’=
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
3 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\frac{3}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\
\frac{5}{7} & \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} \\
\frac{1}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= I_3
$$
La matrice \(A’\) risulta l’inversa di \(A\) e si indica con \(A^{-1}\).
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