Algebra lineare: Le matrici
Determinante di una matrice
Ad ogni matrice quadrata \(A\) di ordine \(n\) si può associare un numero reale, unico e ben definito, detto determinante associato, indicato con \(|A|\) o con \(det(A)\) o, ancora, con \(|a_{ij}|\).
Determinante di una matrice 1 × 1
Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice: \(|A| = a_{11} \).
Determinante di una matrice 2 × 2
Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria:
\(|A| = a_{11} \cdot a_{22} – a_{12} \cdot a_{21} \).
Determinante di una matrice 3 × 3
Prima di procedere occorre dare alcune definizioni. Data una matrice \(A\) di ordine \(3\):
- un elemento \(a_{ij}\) si dice di
classe parise la somma \( i + j\) è un numero pari, altrimenti si dice diclasse dispari; - si chiama
minore complementareassociato all’elemento \(a_{ij}\) il determinante che si ottiene sopprimendo la riga \(i\) e la colonna \(j\) e si indica con \(A_{ij}\); - si chiama
complemento algebricodi un elemento \(a_{ij}\) il determinante della matrice di ordine 2 ottenuta da \(A\) sopprimendo la riga e la colonna cui l’elemento appartiene, preceduto dal segno + o dal segno – a seconda che \(a_{ij}\) sia di classe pari o dispari.
Il determinante di una matrice del terzo ordine è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualunque riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici; considerando gli elementi della prima riga si ha:
\(|A| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13}\).
Esempio
$$ |A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 5 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = $$ $$ 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} -2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} +1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} $$ $$ = 2 \cdot (2-6) -2 \cdot (-5-3) +1 \cdot (10+2)= -8 +16+12=20 $$
Determinante di una matrice n × n
Come estensione del calcolo del determinante del terzo ordine, il determinante di una matrice di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualunque riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici; ad esempio:
\(|A| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + \cdots + a_{1j} \cdot A_{1j} + \cdots + a_{1n} \cdot A_{1n}\).
E’ chiaro che, per snellire i calcoli, è opportuno sviluppare la procedura rispetto alla riga o alla colonna che contiene il maggior numero di elementi nulli.
Definizione. Una matrice quadrata \(A\) si dice singolare se il suo determinante è uguale a zero, altrimenti la matrice \(A\) si dice non singolare.
In particolare, se in una matrice quadrata è presente una riga o una colonna di elementi tutti uguali a 0, allora il determinante della matrice è uguale a 0.
Proprietà dei determinanti
- Il determinante è nullo se:
- tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli;
- due righe (o colonne) sono uguali o proporzionali;
- una riga è una combinazione lineare di altre due righe;
- una una colonna è una combinazione lineare di altre due o colonne;
- il determinante della matrice unità è uguale a 1;
- il determinante di una matrice triangolare o diagonale è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale;
- aggiungendo agli elementi di una riga gli elementi di un’altra riga moltiplicati per una costante, il determinante non cambia di valore;
- aggiungendo agli elementi di una colonna gli elementi di un’altra colonna moltiplicati per una costante, il determinante non cambia di valore;
- scambiando di posto due righe o due colonne, il determinante cambia di segno;
- moltiplicando o dividendo gli elementi di una riga o di una colonna per un numero, il determinante risulterà rispettivamente moltiplicato o diviso per quel numero;
- se due matrici quadrate sono fra loro trasposte, allora hanno uguale il determinante: \(|A| = |A_T|\);
- date due matrici quadrate \(A\) e \(B\) dello stesso ordine, la loro matrice prodotto ha per determinante il prodotto dei loro determinanti: \(|A×B| = |A|×|B|\).
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