Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Siano $K$ un insieme non vuoto dotato di due operazioni binarie $⋆$ e $$$; un campo è una terna $(K,\star ,\$)$ tale che:

$(K,\star )$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0_k$;
$(K \setminus \{0_{K}\},$)$ è un gruppo abeliano;
$\forall$ $a,b,c$ $\in$ $K$, $(a⋆b)$c=(a$b)⋆(a$c)$ ovvero vale la proprietà distributiva.
$0_{⋆}$ è l’elemento neutro di $⋆$ e $1_{$}$ è l’elemento neutro di $$$
Se $a$ $\in$ $K$, $-a$ si dice opposto di $a$rispetto a $⋆$; se inoltre $a$ ≠ $0_{⋆}$ allora $a^{-1}$ si definisce suo reciproco per $$$ ed è detto inverso.

Le due operazioni $⋆$ e $$$ sono dette somma e prodotto e sono indicate con $ +$ e $\cdot$.

In particolare:

$(\mathbb{R},+,\cdot)$	è un campo, in quanto la somma e il prodotto sui numeri reali verificano le proprietà di gruppo e inoltre verificano la proprietà distributiva su ogni terna di numeri.
$(\mathbb{Q},+,\cdot)$	è un campo in modo del tutto analogo al campo $(\mathbb{R},+,\cdot)$.
$(\mathbb{Z},+,\cdot)$	non è un campo, perché non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da $1 , − 1$.

martedì 5 Maggio - 2020

\((\mathbb{R},+,\cdot)\)	è un campo, in quanto la somma e il prodotto sui numeri reali verificano le proprietà di gruppo e inoltre verificano la proprietà distributiva su ogni terna di numeri.
\((\mathbb{Q},+,\cdot)\)	è un campo in modo del tutto analogo al campo \((\mathbb{R},+,\cdot)\).
\((\mathbb{Z},+,\cdot)\)	non è un campo, perché non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da \(1 , − 1\).