Matematica di base: L’elevamento a potenza
L’elevamento a potenza è l’operazione aritmetica che associa a due numeri, a (base) e n (esponente), un terzo numero b (potenza) che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità dell’esponente:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^n = \underbrace{a·a·\dotsc·a} _{n\text{ volte}}=b} \color{#004d99} { (n \in ℕ)}} $$
Le potenze e i valori 0 e 1:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^1=a}}\mkern1.25em‖\mkern1.25em \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^0=1}}\mkern1.25em‖\mkern1.25em \class{formula}{ \color{#f73e5a} {1^n=1}} $$ $$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {0^a=0 (a≠ 0) }} \mkern1.25em‖\mkern1.25em \class{formula}{ \color{#f73e5a} {0^0 forma indeterminata}} $$
Proprietà delle potenze
Potenze con la stessa base
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è la potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^n·a^m·a^p = a^{(n+m+p)}}} $$
Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è la potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza fra gli esponenti:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^n:a^m = a^{(n-m)}}} $$
Potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è la potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^n·b^n·c^n = (a·b·c)^n}} $$
Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è la potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^n:b^n = (a:b)^n}} $$
Potenza di una potenza
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {(a^n)^m = a^{(n·m)}}} $$
Potenze con base 10
Se la base è 10, la potenza si ottiene inserendo dopo la cifra 1 tanti 0 pari al valore dell’esponente; ad esempio:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {(10)^5 = 100.000 }} $$
Potenze con esponente negativo
Se l’esponente è negativo e la base è diversa da zero, la potenza avrà come base l’inverso della base e come esponente lo stesso esponente ma positivo:
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {(a)^{-n} = \left(\frac 1a\right)^n} \color{#004d99} {\hspace3ex (n ∈ℕ)}} $$
Potenze con esponente razionale
Una potenza il cui esponente è una frazione equivale a un radicale che ha per indice il denominatore della frazione e per radicando la base della potenza elevata al numeratore della frazione.
$$ \class{formula}{ \color{#f73e5a} {a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}} \color{#004d99} { (m, n ℕ)}} $$
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